Przykład liczenia środka masy bryły przestrzennej
Środek masy połowy jednorodnego walca o równaniu x=ϱ*Cos[φ],
y=ϱ*Sin[φ],
z=z',
0< φ<α,
0 < ϱ < R,0<z'<H .

RegionPlot3D[x^2+y^2≤4&&y<=0,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,0,4}]

ClearAll["Global`*"]

dVpodϱdφdzp=ϱ

(* To ma oznaczać, że we współrzędnych walcowych element objętości dV=ϱ*dϱ*dφ*dz' *)

x=ϱ*Cos[φ];

y=ϱ*Sin[φ];

z=zp;

Teraz można policzyć wszystkie całki analitycznie dla dowolnego α, przyjmując, że gęstość objętościowa masy ρ = ((dm   )/dV) jest stała

(* Całkowita masa *)

M=Simplify[Integrate[ρ*dVpodϱdφdzp,{φ,0,α},{ϱ,0,R},{zp,0,H}]]

xcm=Simplify[Integrate[x*ρ*dVpodϱdφdzp,{φ,0,α},{ϱ,0,R},{zp,0,H}]/M]

ycm=Simplify[Integrate[y*ρ*dVpodϱdφdzp,{φ,0,α},{ϱ,0,R},{zp,0,H}]/M]

zcm=Simplify[Integrate[z*ρ*dVpodϱdφdzp,{φ,0,α},{ϱ,0,R},{zp,0,H}]/M]

Widać, że dla α=2π współrzędne środka masy wynoszą (0,0,H/2). Konkretne wyniki przedstawimy dla H=4,R=2 i α=π.

H=4;R=2;α=π;

xcm

ycm

zcm