Przykład liczenia środka masy figury płaskiej
Środek masy jednorodnego wycinka kołowego określonego następującymi równaniami x=ϱ*Cos[φ],y=ϱ*Sin[φ],0< φ<α,0 < ϱ < R .

ClearAll["Global`*"]

dSpodϱdφ=ϱ

(* To ma oznaczać, że we współrzędnych biegunowych element powierzchni dS=ϱ*dϱ*dφ *)

x=ϱ*Cos[φ];

y=ϱ*Sin[φ];

Teraz można policzyć wszystkie całki analitycznie dla dowolnego α, przyjmując, że gęstość powierzchniowa masy σ = (dm/dS)  jest stała.

(* Całkowita masa *)

M=Simplify[Integrate[σ*dSpodϱdφ,{φ,0,α},{ϱ,0,R}]]

xcm=Simplify[Integrate[x*σ*dSpodϱdφ,{φ,0,α},{ϱ,0,R}]/M]

ycm=Simplify[Integrate[y*σ*dSpodϱdφ,{φ,0,α},{ϱ,0,R}]/M]

Jest jasne, że dla α=2π współrzędne środka masy wynoszą (0,0). Konkretne wyniki przedstawimy dla R=2 i α=2.5 rad.

R=2;α=2.5;x=.;y=.;

p1=RegionPlot[0<x^2+y^2<R^2&&0<ArcTan[x,y]<α,{x,-2,2},{y,-2,2},Axes->True,AxesLabel->{"x","y"}]

p2=ListPlot[{{xcm,ycm}},PlotMarkers->{Automatic,Small}]

Show[p1,p2]