“Złamana” kwadratowa ramka z prądem o natężeniu I, która nie mieści się w płaszczyźnie z=0. Dwa boki ramki o długościa 𝒶 są równoległe do osi x

P1={-a/2,-a/(2*Sqrt[2]),a/(2*Sqrt[2])};

P2={ a/2,-a/(2*Sqrt[2]),a/(2*Sqrt[2])};

P3={ a/2,0,0};

P4={ a/2,a/(2*Sqrt[2]),a/(2*Sqrt[2])};

P5={- a/2,a/(2*Sqrt[2]),a/(2*Sqrt[2])};

P6={-a/2,0,0};

rp1=P1+t*(P2-P1);

rp2=P2+t*(P3-P2);

rp3=P3+t*(P4-P3);

rp4=P4+t*(P5-P4);

rp5=P5+t*(P6-P5);

rp6=P6+t*(P1-P6);

a=2;plot1=ParametricPlot3D[{rp1,rp2,rp3,rp4,rp5,rp6},{t,0,1},AxesLabel->{"x","y","z"}];
a=.;

Show[plot1]

dl1podt=D[rp1,t]

dl2podt=D[rp2,t]

dl3podt=D[rp3,t]

dl4podt=D[rp4,t]

dl5podt=D[rp5,t]

dl6podt=D[rp6,t]

r={x,y,z}

d1=Simplify[Sqrt[(r-rp1).(r-rp1)]]

d2=Simplify[Sqrt[(r-rp2).(r-rp2)]]

d3=Simplify[Sqrt[(r-rp3).(r-rp3)]]

d4=Simplify[Sqrt[(r-rp4).(r-rp4)]]

d5=Simplify[Sqrt[(r-rp5).(r-rp5)]]

d6=Simplify[Sqrt[(r-rp6).(r-rp6)]]

v1=Simplify[Cross[dl1podt,r-rp1]/d1^3]

v2=Simplify[Cross[dl2podt,r-rp2]/d2^3]

v3=Simplify[Cross[dl3podt,r-rp3]/d3^3]

v4=Simplify[Cross[dl4podt,r-rp4]/d4^3]

v5=Simplify[Cross[dl5podt,r-rp5]/d5^3]

v6=Simplify[Cross[dl6podt,r-rp6]/d6^3]

v=v1+v2+v3+v4+v5+v6;

(*
ft=Simplify[Integrate[v,t],Element[t,Reals]&&Element[a,Reals]&&Element[x,Reals]&&Element[y,Reals]&&Element[z,Reals]&&a>0];
*)

ft=Integrate[v,t];

ft1=Simplify[ft/.{t->1}];

ft0=Simplify[ft/.{t->0}];

(*
ft01=Simplify[ft1-ft0,Element[a,Reals]&&Element[x,Reals]&&Element[y,Reals]&&Element[z,Reals]&&a>0];
*)

ft01=ft1-ft0;

B1=ft01/.{a->u*z};

B2=Simplify[Normal[Series[B1,{u,0,2}]]];

B3=Simplify[B2/.{u->a/z}]

Simplify[B3/(a^2/Sqrt[2])]

Teraz efektywną powierzchnią ramki jest powierzchnia prostokąta o bokach a i a/Sqrt[2]

(* Ten wynik należy pomnożyć przez mu0*I/(4*Pi) *)

Teraz wyprowadzę analogiczny przybliżony wzór dla dipola elektrycznego !

ClearAll[a,rp1,rp2,r];

rp1={0,0,-L/2}

rp2={0,0,L/2};

r={x,y,z};

E1=k*Q*(r-rp2)/Sqrt[(r-rp2).(r-rp2)]^3-k*Q*(r-rp1)/Sqrt[(r-rp1).(r-rp1)]^3

E2=E1/.{L->w*z}

E3=Simplify[Normal[Series[E2,{w,0,2}]]]

E4=E3/.{w->L/z}

Simplify[E4/(k*Q*L)]